A First Course in Noncommutative Rings by T. Y. Lam

By T. Y. Lam

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MATHEMATICAL reports "This is a textbook for graduate scholars who've had an creation to summary algebra and now desire to learn noncummutative rig theory...there is a sense that every subject is gifted with particular pursuits in brain and that the most productive direction is taken to accomplish those objectives. the writer bought the Steele prize for mathematical exposition in 1982; the exposition of this article is usually award-wining quality. even though there are various books in print that take care of numerous features of ring idea, this e-book is exclusive by way of its caliber and point of presentation and by way of its collection of material....This e-book would definitely be the traditional textbook for a few years to return. The reviewer eagerly awaits a promised follow-up quantity for a moment direction in noncummutative ring theory."

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Noethersch), wenn jede nichtleere Menge von A-Teilmoduln von V ein (bez¨ uglich ⊆) minimales (bzw. maximales) Element besitzt. Beweis. Wir beweisen die jeweils nichttriviale Implikation gleichzeitig f¨ ur beide F¨alle, indem wir eine nichtleere Menge M von A-Teilmoduln von V und eine Ordnungsrelation auf der Menge aller Teilmoduln von V betrachten, die entweder gleich ⊆ oder gleich ⊇ ist. Wir nehmen an, daß die aufsteigende Kettenbedingung f¨ ur A-Teilmoduln bez¨ uglich erf¨ ullt ist. Ist dann K eine Kette in der geordneten Menge (M, ), so muß K endlich sein: Andernfalls g¨abe es eine injektive Abbildung ι von N in K und aufgrund der KettenEigenschaft von K dann auch eine Permutation π von N mit jπι (j + 1)πι ur alle j ∈ N erhielten wir eine bez¨ uglich f¨ ur alle j ∈ N.

Ik ist daher eine homogene Komponente des AModuls (A; ρ). F¨ ur alle x ∈ A gilt: xRj ∼ = Rj oder xRj = {0A }, also xIk ⊆ Ik , somit: Ik A. 2) A Das Ideal Ik ist minimal. Sei zum Beweis J ein in Ik echt enthaltenes Ideal von A. Dann gibt es ein minimales Rechtsideal S von A mit S ⊆ Ik , S ⊆ J. 1 gilt S ∼ = Rk , und es A ist SJ ⊆ S ∩J = {0A } wegen der Minimalit¨at von S. D. h. bez¨ uglich der Darstellung ρ wird S von J annulliert, damit aber auch jedes zu S A-isomorphe Rechtsideal. Es folgt: Ik J = {0A } und insbesondere J 2 = {0A }.

Dann folgte: {0A } ⊂ f A ⊆ Q ⊂ R. 4 w¨are f A ein direkter A-Summand von A, also auch von R, und damit w¨are R nicht direkt A-unzerlegbar. 6 also in N (A) enthalten ist. Sei M(R) die Summe aller in R echt enthaltenen Rechtsideale von A. Da e ∈ R N (A), folgt M(R) ⊂ R. Also ist M(R) eindeutig bestimmtes gr¨oßtes in R echt enthaltenes Rechtsideal von A. Es folgt M(R) = eM(R) ⊆ eN (A) ⊆ R ∩ N (A) ⊆ M(R), somit (1). (2) Die Implikation ⇒“ ist trivial. – Es gelte nun R/M(R) ∼ = S/M(S). ” A Dann gibt es einen A-Epimorphismus ϕ : R → S/M(S).

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