Algorithmische Zahlentheorie by Prof. Dr. Otto Forster (auth.)

By Prof. Dr. Otto Forster (auth.)

Dr. Otto Forster ist Professor am Mathematischen Institut der Ludwig-Maximilians-Universität München und Autor der bekannten Lehrbücher research 1-3.

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618 ... ist der beriihmte goldene Schnitt. Mit ihm lauten die Eigenwerte Al = 9 und A2 = l-g = -l/g. 2. Satz. Fur die Fibonacci-Zahlen gilt mit 9 := . (1 + vts) ~ O. fiir aile n ~ 0, folgt daraus die interessante Tatsache, dass wobei round( x) die der reellen Zahl x nachste ganze Zahl bedeutet. Dies wird durch folgende ARIBAs-Rechnung, die in der Genauigkeit extended_float durchgefiihrt wird, illustriert: 21 Die Fibonacci-Zahlen ==> set_floatprec(extended_float); g := (1 + sqrt(5))/2. 61803398874989484820458683436563811772030917980576286 ==> g**100/sqrt(5).

Hat das Polynom XP -1 als Nullstellen die p-ten Einheitswurzeln e27riv/p, 0 ~ v ~ p - 1, die auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene liegen und die Ecken eines reguHiren p-Ecks bilden. Da XP - 1 = (X - l)p(X), folgt p-I p(X) = II (X - e27riv/p), v=l die Nullstellen von p(X) sind also die nicht-trivialen p-ten Einheitswurzeln. Man nennt p(X), (p prim), auch das p-te Kreisteilungs-Polynom. 1. " {O} und eine Primzahl p bezeichne vp( x) das Maximum aller k ~ 0 mit pk Ix. " {O} und z > 0 das kleinste gemeinsame Vielfache von x und y.

10- 9 sec ist. 10 20 Nano-Sekunden. 15 . 10 16 Nano-Sekunden hat, kommt man auf einen Zeitbedarf von iiber 10000 Jahren. Dagegen benotigt die Berechnung mit dem iterativen Algorithmus auf einem handelsiiblichen PC nur Bruchteile einer Sekunde. Es gibt jedoch einen noch schnelleren Algorithmus. 18 §3 Ein schneller Algorithmus zur Berechnung der Fibonacci-Zahlen Wir set zen zur Abkiirzung in = fib(n). Die Rekursions-Formel fiir die FibonacciZahien Iasst sich in Matrizen-Schreibweise so ausdriicken: ( in+l) in = (11 01) (in-l in ).

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