Assoziative Algebren by Hartmut Laue

By Hartmut Laue

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Noethersch), wenn jede nichtleere Menge von A-Teilmoduln von V ein (bez¨ uglich ⊆) minimales (bzw. maximales) Element besitzt. Beweis. Wir beweisen die jeweils nichttriviale Implikation gleichzeitig f¨ ur beide F¨alle, indem wir eine nichtleere Menge M von A-Teilmoduln von V und eine Ordnungsrelation auf der Menge aller Teilmoduln von V betrachten, die entweder gleich ⊆ oder gleich ⊇ ist. Wir nehmen an, daß die aufsteigende Kettenbedingung f¨ ur A-Teilmoduln bez¨ uglich erf¨ ullt ist. Ist dann K eine Kette in der geordneten Menge (M, ), so muß K endlich sein: Andernfalls g¨abe es eine injektive Abbildung ι von N in K und aufgrund der KettenEigenschaft von K dann auch eine Permutation π von N mit jπι (j + 1)πι ur alle j ∈ N erhielten wir eine bez¨ uglich f¨ ur alle j ∈ N.

Ik ist daher eine homogene Komponente des AModuls (A; ρ). F¨ ur alle x ∈ A gilt: xRj ∼ = Rj oder xRj = {0A }, also xIk ⊆ Ik , somit: Ik A. 2) A Das Ideal Ik ist minimal. Sei zum Beweis J ein in Ik echt enthaltenes Ideal von A. Dann gibt es ein minimales Rechtsideal S von A mit S ⊆ Ik , S ⊆ J. 1 gilt S ∼ = Rk , und es A ist SJ ⊆ S ∩J = {0A } wegen der Minimalit¨at von S. D. h. bez¨ uglich der Darstellung ρ wird S von J annulliert, damit aber auch jedes zu S A-isomorphe Rechtsideal. Es folgt: Ik J = {0A } und insbesondere J 2 = {0A }.

Dann folgte: {0A } ⊂ f A ⊆ Q ⊂ R. 4 w¨are f A ein direkter A-Summand von A, also auch von R, und damit w¨are R nicht direkt A-unzerlegbar. 6 also in N (A) enthalten ist. Sei M(R) die Summe aller in R echt enthaltenen Rechtsideale von A. Da e ∈ R N (A), folgt M(R) ⊂ R. Also ist M(R) eindeutig bestimmtes gr¨oßtes in R echt enthaltenes Rechtsideal von A. Es folgt M(R) = eM(R) ⊆ eN (A) ⊆ R ∩ N (A) ⊆ M(R), somit (1). (2) Die Implikation ⇒“ ist trivial. – Es gelte nun R/M(R) ∼ = S/M(S). ” A Dann gibt es einen A-Epimorphismus ϕ : R → S/M(S).

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